SEJARAH HIMPUNAN
Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), ia merupakan cucu dari Lord John Russell , yang menjabat sebagai perdana mentri selama dua kali pada masa pemerintahan Ratu Victoria,sehingga sejajak kecil Russell mendapatkan pendidikan yang bermutu tinggi. Ayah bernama Viscount Amberley dan ibunya bernama Katherine. Ibunya meninggal ketika Russell berumur dua tahun. Dan disusul oleh ayahnya ketika ia berumur empat tahun.Serta kakeknya ketika Russell berusia enam tahun. Oleh karena itu ia dibimbing oleh neneknya,Lady Russeell.
Awal pendidikan dimulai dengan mengundang guru privat sebelum masuk Trinity College, Cambridge untuk mempelajari matematika dan sains moral dan terutama sekali tentang bahasa dan sejarah Perancis dan Jerman. Lulus Cambrige pada tahun 1894 dan beberapa bulan kemudian diangkat menjadi atese kedaulatan Inggris di Perancis.
Paradoks Russell
Pada Karyanya Principles of Mathematics(1903). Paradoks ini timbul dalam kaitannya antara suatu himpunan yang menjadi bagian dari berbagai himpunan namun bukan anggota itu sendiri.Signifikasi paradox ini mengikuti ,pandangan logika klasik,semua pernyataan akan selalu diikiuti oleh kontradiksi.Menurut pandangan Matematikawan lain (termasuk Hilbret dan Brouwer) tidak ada pembuktian layak untuk menjawab logika semua pernyataan matematika yang kontradiktif (jika S ∈/ S maka S ∈ S ; jika S ∈ S maka S ∈/ S disebut dengan Paradoks Russell ). Pada Awal abad ini karya-karya yang menyangkut logika,teori himpunan,filsafat dan dasar-dasar matematika tumbuh dengan subur.
Paradoks ini rupanya hasil sampingan dari pernyataan aksioma tak difinisi (unrestricted) atau abstraksi yang menjadi bagian dari teori himpunan. Aksioma yang dimunculkan oleh Cantor dalam bentuk pernyataan P(x),dimana x adalah peubah bebas dimana akan menetukan himpunan yang anggota-anggotnya memenuhi kriteria P (x). Mengawali Paradoksnya, Russell membedakan himpunan menjadi dua, yaitu himpunan normal dan himpunan tak normal.
# Himpunan Normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan. Contoh : himpunan semua kucing, himpunan semua siswa.
# Himpunan Tak Normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan. Contoh : himpunan semua yang bukan kucing, himpunan semua yang bukan siswa.
S = {x x ∈/x}
Apakah S anggota dari S ??????
· Apabila S ∈/ S, maka S memenuhi kriteria (x∈/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi,
S ∈ S.
· Apabila S ∈/ S, maka S tidak memenuhi kriteria (x∈/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi, S ∈ /S.
- ∈/ ( Bukan anggota himpunan ) ∈ (Anggota himpunan)
Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek absrak . Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf capital seperti A,B,C,D dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a,b,c,d dsb.
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan,
1. Enumerasi , dengan menndaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal,dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh :
A = {a,I,u,e,o}
2. Simbol Baku , dengan menggunakan symbol tertentu yang telah disepakati .
Contoh :
C adalah himpunan bilangan Kompleks
Q adalan himpunan bilangan Rasional
R adalah himpunan bilangan Real
Z adalah himpunan bilangan Bulat
P adalah himpunan bilangan Bulat positif
3. Notasi pembentuk Himpunan , dengan menuliskan ciri-ciri atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.
Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
4. Diagram Venn , dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.
MACAM-MACAM HIMPUNAN
A. Himpunan Semesta
Adalah himpunan dari semua elemen yang sedang dibicarakan. Notasi suatu himpunan semesta adalah (S) atau (U).
B. Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B , jika setiap elemen himpunan A juga merupakan elemen himpunan B.
Dinotasikan dengan : A ⊂ B dibaca “A himpunan bagian dari himpunan B”
B ⊃ A dibaca “B memuat A “ atau “ A termuat di dalam B”
A ⊄ B dibaca “ A bukan himpunan bagian dari himpunan B “
Menentukan banyaknya himpunan bagian (power set) dilambangkan dengan P :
Rumus :
P = 2 n
Catatan : n = Banyaknya anggota dari himpunan tersebut.
C. Himpunan Kosong
Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dinotasikan dengan ∅ atau { } .
D. Himpunan Komplemen
Ac = {X |X ∉ A dan X ∈ S}
Ac = {X |X ∉ A dan X ∈ S}
E. Gabungan (Union)
A ∪ B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}
F. Irisan
A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}
G. Selisih Dua Himpunan
A – B = {x|x ∈ A dan x ∉ B }
A – B = A ∩ B’
H. Himpunan Berhingga
Merupakan himpunan yang memilki banyak anggota terbatas (finite set)
Contoh : Himpunan bilangan asli kurang dari 100, {1,2,3,4,…98,99}
I. Himpunan Tak Berhingga
Merupakan himpunan yang memilki banyak anggota tak terbatas (infinite set)
Contoh : Himpunan bilangan asli ,{1,2,3…}
SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Hukum Komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
2. Hukum Asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. Hukum Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. Hukum De Morgan
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
5. Aljabar Boole
n (A – B) = n (A) – n (A ∩ B)
n (S) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) + n (A ∪ B)’
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) , untuk himpunan beririsan
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) +n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), ia merupakan cucu dari Lord John Russell , yang menjabat sebagai perdana mentri selama dua kali pada masa pemerintahan Ratu Victoria,sehingga sejajak kecil Russell mendapatkan pendidikan yang bermutu tinggi. Ayah bernama Viscount Amberley dan ibunya bernama Katherine. Ibunya meninggal ketika Russell berumur dua tahun. Dan disusul oleh ayahnya ketika ia berumur empat tahun.Serta kakeknya ketika Russell berusia enam tahun. Oleh karena itu ia dibimbing oleh neneknya,Lady Russeell.
Awal pendidikan dimulai dengan mengundang guru privat sebelum masuk Trinity College, Cambridge untuk mempelajari matematika dan sains moral dan terutama sekali tentang bahasa dan sejarah Perancis dan Jerman. Lulus Cambrige pada tahun 1894 dan beberapa bulan kemudian diangkat menjadi atese kedaulatan Inggris di Perancis.
Paradoks Russell
Pada Karyanya Principles of Mathematics(1903). Paradoks ini timbul dalam kaitannya antara suatu himpunan yang menjadi bagian dari berbagai himpunan namun bukan anggota itu sendiri.Signifikasi paradox ini mengikuti ,pandangan logika klasik,semua pernyataan akan selalu diikiuti oleh kontradiksi.Menurut pandangan Matematikawan lain (termasuk Hilbret dan Brouwer) tidak ada pembuktian layak untuk menjawab logika semua pernyataan matematika yang kontradiktif (jika S ∈/ S maka S ∈ S ; jika S ∈ S maka S ∈/ S disebut dengan Paradoks Russell ). Pada Awal abad ini karya-karya yang menyangkut logika,teori himpunan,filsafat dan dasar-dasar matematika tumbuh dengan subur.
Paradoks ini rupanya hasil sampingan dari pernyataan aksioma tak difinisi (unrestricted) atau abstraksi yang menjadi bagian dari teori himpunan. Aksioma yang dimunculkan oleh Cantor dalam bentuk pernyataan P(x),dimana x adalah peubah bebas dimana akan menetukan himpunan yang anggota-anggotnya memenuhi kriteria P (x). Mengawali Paradoksnya, Russell membedakan himpunan menjadi dua, yaitu himpunan normal dan himpunan tak normal.
# Himpunan Normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan. Contoh : himpunan semua kucing, himpunan semua siswa.
# Himpunan Tak Normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan. Contoh : himpunan semua yang bukan kucing, himpunan semua yang bukan siswa.
S = {x x ∈/x}
Apakah S anggota dari S ??????
· Apabila S ∈/ S, maka S memenuhi kriteria (x∈/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi,
S ∈ S.
· Apabila S ∈/ S, maka S tidak memenuhi kriteria (x∈/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi, S ∈ /S.
- ∈/ ( Bukan anggota himpunan ) ∈ (Anggota himpunan)
Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek absrak . Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf capital seperti A,B,C,D dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a,b,c,d dsb.
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan,
1. Enumerasi , dengan menndaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal,dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh :
A = {a,I,u,e,o}
2. Simbol Baku , dengan menggunakan symbol tertentu yang telah disepakati .
Contoh :
C adalah himpunan bilangan Kompleks
Q adalan himpunan bilangan Rasional
R adalah himpunan bilangan Real
Z adalah himpunan bilangan Bulat
P adalah himpunan bilangan Bulat positif
3. Notasi pembentuk Himpunan , dengan menuliskan ciri-ciri atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.
Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
4. Diagram Venn , dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.
MACAM-MACAM HIMPUNAN
A. Himpunan Semesta
Adalah himpunan dari semua elemen yang sedang dibicarakan. Notasi suatu himpunan semesta adalah (S) atau (U).
B. Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B , jika setiap elemen himpunan A juga merupakan elemen himpunan B.
Dinotasikan dengan : A ⊂ B dibaca “A himpunan bagian dari himpunan B”
B ⊃ A dibaca “B memuat A “ atau “ A termuat di dalam B”
A ⊄ B dibaca “ A bukan himpunan bagian dari himpunan B “
Menentukan banyaknya himpunan bagian (power set) dilambangkan dengan P :
Rumus :
P = 2 n
Catatan : n = Banyaknya anggota dari himpunan tersebut.
C. Himpunan Kosong
Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dinotasikan dengan ∅ atau { } .
D. Himpunan Komplemen
Ac = {X |X ∉ A dan X ∈ S}
Ac = {X |X ∉ A dan X ∈ S}
E. Gabungan (Union)
A ∪ B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}
F. Irisan
A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}
G. Selisih Dua Himpunan
A – B = {x|x ∈ A dan x ∉ B }
A – B = A ∩ B’
H. Himpunan Berhingga
Merupakan himpunan yang memilki banyak anggota terbatas (finite set)
Contoh : Himpunan bilangan asli kurang dari 100, {1,2,3,4,…98,99}
I. Himpunan Tak Berhingga
Merupakan himpunan yang memilki banyak anggota tak terbatas (infinite set)
Contoh : Himpunan bilangan asli ,{1,2,3…}
SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Hukum Komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
2. Hukum Asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. Hukum Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. Hukum De Morgan
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
5. Aljabar Boole
n (A – B) = n (A) – n (A ∩ B)
n (S) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) + n (A ∪ B)’
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) , untuk himpunan beririsan
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) +n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)